Abscisse curviligne et angle en radian :



Manip :

Quand on déplace le point B, les deux demi-droites [OA) et [OB) forment un angle orienté :
cet angle est positif si pour aller de A à B en prenant le plus court chemin, on tourne dans le sens trigonométrique.
Il est négatif dans le cas contraire.
On peut repérer cet angle par les abscisse curviligne du point B (chemins orientés sur le cercle pour aller de A à B).
On appelle alors la mesure de cet angle mesure en radian.
Si l'abscisse curviligne du point B est son abscisse curviligne principale (c'est-à dire qu'elle appartient à ]-π;π]) alors la mesure de l'angle est sa mesure principale, elle appartient aussi à : ]-π;π]


Exemples :

Qu'elle est la mesure en radians des angles roses suivants ainsi que leur mesure principale ?

La mesure en radian de l'angle rose est égale au chemin orienté parcouru pour aller du point A au point B.
On peut aller du point A au point B en faisant 1/4 de tour dans le sens trigonométrique, le chemin parcouru est alors π/2.
Si on fait le même chemin en ajoutant un tour complet, le chemin est π/2+2π.
Si on retranche un tour complet, le chemin est π/2-2π.
En ajoutant deux tours complets le chemin est π/2+4π.
En retranchant deux tours complets le chemin est π/2-4π.
...
La mesure en radians de l'angle rose est donc : π/2+2kπ avec k∈z.
La mesure principale est celle comprise entre ]-π;π], c'est-à-dire : π/2.


Pour aller du point A au point B, on peut faire 1/8 de tour dans le sens contraire au sens trigonométrique, le chemin orienté parcouru est alors -π/4.
En ajoutant un tour complet, le chemin est -π/4+2π.
...
La mesure en radians de l'angle rose est donc : -π/4+2kπ avec k∈z.
La mesure principale est celle comprise entre ]-π;π], c'est-à-dire : -π/4.