Exercice


1 .   Rendre   rationnel   le   d é nominateur   des   nombres   suivants   : a )   1 2 + 1

1 2 +1 = 2 1 ( 2 +1)( 2 1) = 2 1 ( 2 ) 2 1 = 2 1 21 = 2 1 1 2 +1 = 2 1

b )   1 3 + 2

1 3 + 2 = 3 2 ( 3 + 2 )( 3 2 ) = 3 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) 2 = 3 2 32 = 3 2 1 3 + 2 = 3 2

c )   1 n + 1 + n

1 n+1 + n = n+1 n ( n+1 + n )( n+1 n ) = n+1 n ( n+1 ) 2 ( n ) 2 = n+1 n (n+1)n = n+1 n 1 n+1 + n = n+1 n

2 .   En   utilisant   le   1 . ,   simplifier   le   nombre   : 1 1 + 1 2 + 1 + 1 3 + 2 + ... + 1 n + 1 + n .  

1 1 + 1 2 +1 + 1 3 + 2 +...+ 1 n+1 + n =1+( 2 1)+( 3 2 )+( 4 3 )+...+( n n1 )+( n+1 n ) = 1 +( 2 1 ) +( 3 2 ) +( 4 3 ) +... +( n n 1 ) +( n+1 n ) = n+1 Donc  1 1 + 1 2 +1 + 1 3 + 2 +...+ 1 n+1 + n = n+1